理学部 数理科学科 正岡　弘照 教授

物理的現象を記述する関数の1つ

　ある関数を変数ごとに2回（偏）微分し、足し合わせ、その値が0になる関数を調和関数といいます。電磁気学における電圧の分布を表すなど、物理的現象を記述する際に重要なツールになっています。ポテンシャル論を研究する正岡弘照先生に、調和関数の基本と面白い性質を教えていただきました。

調和関数とは

　調和関数は、古典的な物理学における多くの現象に登場します。例えば、熱の平衡状態である（時間に関して、熱的状態が変化しない）空間における温度の分布であったり、電磁場における電位の分布であったり、重力場における重力の分布であったりします。

　それは、各々の変数について（偏）微分を2回して、それを足し合わせた（これをラプラシアンを作用させるといいます）式が0になる関数です。これはいったい何を表しているのかと言うと、我々は3次元の世界に住んでいるので、本来なら、3次元で話を進めるべきではありますが、話を簡便に把握していただくために、まず、1次元で説明していきます。

　この場合、関数f（x）のラプラシアンはf（x）を2回微分したf"（x）です。したがって、f（x）が調和関数であるとは、f"（x）＝0をみたす関数、すなわち、f（x）=ax+bで、y＝f（x）のグラフは直線を表します。調和関数がどのような関数かを理解するために、f"（x）＞0(f"（x）＜0)をみたすf(x)がどのような関数かみてみると、y＝f（x）のグラフは下に出っ張って（上に出っ張って）います（図1）。これは、曲線 y＝f (x) 上の任意の2 点A(a,f(a)),B(b,f(b))を選び、f（x）が下に出っ張っている場合は、y＝f（x）のグラフが線分ABより下にあり、上に出っ張っている場合に、y＝f（x）のグラフが線分ABより上にあることを表しています。また、f"（x）＝0の場合は、y＝f（x）のグラフは線分ABと一致します。というわけで、このことを2次元で考えてみると、直感的には、調和関数のグラフはある意味で出っ張っていない非常になめらかな曲面と考えられます。3次元以上では、グラフを描くことはできませんが、感じは、1次元、2次元の場合から類推してください。

ディリクレ問題

　数学史上の調和関数に関する問題として、ディリクレ問題、正確には、内部ディリクレ問題があります。すなわち、境界上の関数が与えられた領域の内部で調和となる関数を求める問題のことです。

　ディリクレ問題において、円(球面) のような境界がなめらかな曲線(曲面)の場合や境界に与えた関数が単純な場合は具体的に解を示すことができるのですが、境界の形状が複雑な場合や境界に与えた関数が複雑な場合は、解をどのように求めてよいか、当時の数学者を悩ませました。この問題の解については、有名な数学者ガウスが与えています。後に、整数論などで著名な業績を残しているディリクレ（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805−1859）もディリクレ原理という方法を用いて、解を与えています。

　ディリクレ問題およびディリクレ原理の名称はディリクレの弟子であるリーマン予想で著名なリーマンによって与えられました。しかしながら、ガウスやディリクレの示した方法に従えば、ディリクレ問題の解の存在が従うというのですが、その方法自体、当時は問題なく明白であるということでした。ワイエルシュトラスはその方法自体に論理的欠陥があることを指摘しました。その後、ヒルベルトは境界および境界上の関数に制限をつけることにより、ディリクレ原理の論理的欠陥は解消されました。

素数に対応する特殊な調和関数（ミニマルなマルチン関数）

　1次元の調和関数のグラフは直線しかありませんが、2次元、物理学での応用の場面が多い3次元では、調和関数のグラフは単純ではありません。調和関数のうち、比較的よく理解されている調和関数は、正の値をとる調和関数です。整数が素数の積で表せるように、正の値をとる調和関数はある特殊な正の値をとる調和関数(ミニマルなマルチン関数と呼ばれています)によって、（ある測度に関する）積分を用いて表現されます。平面内の定義域におけるミニマルなマルチン関数は、ある意味である1点で無限大で、その1点を除く、境界の点で0となります。このことを中心が原点で半径1の円で確かめてみましょう（図2）。

　円周上の点P（x₀,y₀）で無限大、他の点では0となる関数F_（x0,y0）（x,y）は

と表すことができます。P（x₀,y₀）は円周上の点であるので、x₀²＋y₀²＝1をみたしますが、Q（x,y）が線分OPに沿って、P（x₀,y₀）に近づくと、分子、分母ともに0に近づいていくので、いわゆる、不定形になりますので、F_（x0,y0）（x,y）の挙動がどうなるかわかりませんが、計算すると無限に大きくなることがわかります。実際、原点から点(x, y)までの距離をrとおくと分子は1−r²、分母は

ここで（x, y）＝（rx0,ry0）から、

したがって、

となり、rが1に近づくと、分子は2に近づき、分母は0に近づき、F_（x0,y0）（x,y）が無限に大きくなります。一方、Q（x,y）が円周上の点P'（x₁,y₁）（≠P） に近づくと、F_（x0,y0）（x,y）の分子1−（x²＋y²）は0に近づき、F_（x0,y0）（x, y）の分母2π（（x−x₀）²＋（y−y₀)²）は2π（（x₁−x₀）²+（y₁−y₀）²）（≠0）に近づきます。よって、F_（x0,y0）（x, y）は0に近づきます。したがって、F_（x0,y0）（x,y）は1つのミニマルなマルチン関数になります。

　この単位円盤上のミニマルなマルチン関数F_（x0,y0）（x, y） はポアソン核として知られています。

次元によって異なる性質

　ディリクレ問題は、境界上の関数が与えられた境界(ここでは、ある曲線)の「内側」を定義域(境界で囲まれた部分)とする調和関数を求める問題としましたが、境界の「外側」を定義域（ある曲線の外側であり、その広がりが無限遠までの部分）とする調和関数を求める問題を考察することもできます。これを外部ディリクレ問題と呼んでいます。

　外部ディリクレ問題として、境界上に1 という値をもつ関数を与えて、境界の外側では、調和で、以下の意味で無限遠では0であるような関数がどうなるかという問題を考えてみると、次元によって解が変わるという面白い性質があります。

　この問題の解は、まずは有限な定義域で（内部）ディリクレ問題の解を考えて、定義域を拡げていく方法で得られるものと解釈することにしましょう（図3）。以下で具体的にみてみましょう。1次元の場合、簡単のため、境界は2点集合{−1,1}としてよいでしょう。{−1,1}の外側は区間（−∞,−1）と（1,∞）の合併集合になります。（−∞,−1）においても、同様の考察ができますので、（1,∞）に限定して考察することにします。x=1で1の値をとり、x＝rで0の値をとる調和関数のグラフは、2点（1,1）と（r, 0）を結ぶ直線になります。rをどんどん大きくしていくと傾きが0に近づきx軸と平行な直線に近づきます。そして、無限遠点までのばすと調和関数は定数1になります。2次元でも外側の円の半径rを無限大に近づけていくと調和関数は定数1に近づきます。しかし、3次元では外側の球面の半径rを無限大に近づけていっても、調和関数は定数1とは異なる調和関数に近づいていきます。

　この事実は、ブラウン運動における粒子の動きと関係しています。直線（1次元）、平面（2次元）の場合、その上のブラウン運動の粒子は確率1で何回でも原点付近に戻ってきます。しかし、空間（3次元）では、その上のブラウン運動の粒子は確率1で無限遠点に向かって飛んで行くのです。

　ここで、上で述べた外部ディリクレ問題の解が次元によって異なるという性質が、確率論という分野の研究対象であるブラウン運動の性質が対応する次元によって異なるという事実に翻訳されることが興味深いと思います。

離散的な対象も含めて統一的な理論へ

　これまで私は、平面を一般化したリーマン面上で、いま挙げたような調和関数について、調べてきました。最近は、調和関数を抽象的に考察する公理論的なポテンシャル論の研究対象である「調和空間」に興味をもっており、「調和空間」上の調和関数について諸性質を研究したいと考えています。

　より広義の「調和空間」(正確には、「掃散空間」)としては、離散的な対象も考えることができます。離散的な対象としては、グラフなどが研究対象となります。ここで言うグラフは、ツリー状の無限ネットワークのことですが、これは近年注目を集めている分野です。

　離散的な対象では、極限がとれず、微分の代わりに差分を用いるなど、従来からある調和関数とは異なるところもありますが、より広義の「調和空間」の研究を通して、次世代への贈り物となるような考察を残していけたらよいと思っています。

数学者の「貢献」とは

　数学だけでなく物理学を含めた科学全般に言えることですが、数学者は数理現象を解明することを主眼に数学をやっているのであり、物理学者は物理現象を解明することを主眼に物理をやっており、工学的な意味における現実社会への応用は副次的なものです「。役に立つ」から数学を研究するというよりも、自分に興味があるから行っているのです。

　しかしながら、数学は、科学の発展の重要な節目で役に立ってきました。例えば、アインシュタインが一般相対性理論を完成できたのも数学の貢献があってのことでした。一般相対性理論にはリーマン幾何学が不可欠でしたが、そもそもリーマンは物理理論のためにリーマン幾何学を作ったわけではありません。

　私は、数学者はとにかく論文を書くことが大事だと思います。そのことが、未来の数学者への貢献になると考えています。彼らが、私の論文を読んでくれて、ほんのわずかでも、お役に立てば、よいと考えています。後世の科学や技術の進歩発展のために貢献できれば、それにこしたことはありませんが。

アドバイス

　数学を勉強する際は、まず教科書に書いてあるような基本的なことをしっかりと勉強してください。その中で面白いと思った単元が出てくるでしょう。そうした時は先生に聞くなりして、その分野について深く書かれた本を紹介してもらうとよいでしょう。きっかけは問題が解けるのが面白いということでもいい。ある程度自信をつけたらそういう本を読み、授業や受験を超えた勉強をして深めてほしいと思います。その時には理解できなくとも時間がたって読み返したらわかることもあります。