研究紹介

理学研究科 数学専攻 西慧准教授 インタビュー

「確率過程の汎関数に関する極限定理の研究」

研究テーマ「反応拡散方程式」との出会い

私は学部が理学部の数学科ではなく、工学部の応用物理学科でした。授業も量子力学や統計力学、電磁気学など物理系の科目がメインだったのですが、数学も好きで、興味の赴くまま数学科の講義を受けたり、専門書を読むなどして勉強していました。
 物理の勉強を進めていくと、数学で学ぶ計算方法や抽象的な定理といったものが自然なかたちで使われていることが分かってきました。特に、数式の論理性を活かして実験結果や観測事実を説明できること、さらにはまだ実験も行われていない未知の現象でさえ、数式を解析することで「発見」できてしまうという理論物理の魅力に強く惹かれ、いつしか「自分も数式で現象を解き明かしてみたい」、と漠然と思うようになりました。
 ただ、何を研究対象としたいのか、どのような現象に興味があるのか、自分でもはっきりと定まっておらず、とりあえず大学院進学を視野に入れつつ勉強を進めていたのですが、ちょうど3年生の学生実験で、DLA (拡散律速凝集) のシミュレーションをする機会がありました。コンピューター上で粒子をブラウン運動させ、核となる粒子に結合したら動きを止める、ということを繰り返すだけの簡単なシミュレーションですが、その結果、まるで結晶のような樹枝状パターンが出来上がるのを見て、何とも不思議な気持ちになりました。そこにはこれまで勉強してきた物理的な理論や法則は一切使われていない、単純なルールだけで実物そっくりの複雑な形ができてしまう。その仕組みが気になり、図書館で調べてみました。確率論による解析が行われていることは分かったのですが、結局、知識不足でほとんど読み進めることはできませんでした。
 しかしそれがきっかけとなり、自然界のパターンやその形成メカニズムというものに興味を持つようになりました。その後色々と調べていく中で、こういった自然界や生命現象でみられる自己組織化はいわゆる非平衡開放系で起き、その理解もあまり進んでいないことが分かり、より深く勉強してみたいと感じるようになりました。
 幸い、同じ大学の数学専攻にそのようなテーマを扱う研究室があることを知り、大学院はそちらへ進学しました。雲や河川の形成モデル、真性粘菌変形体のネットワーク、蝶の羽ばたき、結合振動子系の同期等々、多岐にわたる現象をモデリングやシミュレーション、解析などの手法で思い思いに研究している自由な場所で、非線形現象の研究には様々な見方やアプローチがあると直に学べたことも、今思えば大きな収穫でした。自分はそこで修士論文のテーマとして反応拡散方程式なるものを紹介してもらいました。式自体は決して複雑ではないのですが、詳しく調べていくうちにその奥深さに気づき、現在まで続く研究テーマとなっています。

拡散が生み出すパターンの面白さ

本棚

2種類の試薬を水に溶かすと、溶液中を分子が拡散し、反応が起こります。この様子をモデル化し、「反応」と「拡散」による物質濃度の時間・空間的変化を記述するのが反応拡散方程式と呼ばれる偏微分方程式で、式で書くと次のようになります。


偏微分方程式で

 

右辺第1項が拡散項、第2項が反応項で、偏微分方程式では空間 x、時刻 t における物質の濃度を表します ( N 種類の物質が反応に関与するとした場合 )。ただし、ここでの ”物質” は原子や分子に限らず、人や動物などランダムに移動する (とみなせる) ものなら何でもよくて、実際、動物や魚の体表模様、神経軸索上のパルスの伝播、生物における発生や形態形成、バクテリアや微生物のコロニー形成、個体群密度の変化、感染症の拡がり等々、自然界で見られる様々なパターン形成のモデル方程式として広く用いられています。
 数学的な解析も古くから行われているのですが、パターン形成という観点から反応拡散方程式を扱ったのは、チューリングマシンで知られる A. Turing がおそらく最初ではないかと思います。拡散は通常、物質の濃度分布を均質化する働きをしますが、彼は1952年に発表した論文「The chemical basis of morphogenesis」で、空間的に一様な状態が拡散の影響で不安定化し、空間的なパターンが現れうるということを示しました。その後、計算機の性能が向上する中で研究も大きく進展し、反応項 F の関数形や、D や k といったパラメータの値を変えることで、縞模様や六角形、枝分かれのような静的なパターンから、進行波やスパイラル、自己複製といった動的なパターンに至るまで、実に多くの時空間パターンが現れることが分かり、一部についてはその出現メカニズムなども分かってきています。
 その中で特に自分が研究対象としているのが、パルスやスポットのように空間的に局在化したパターン (局在パターン) です。数値計算を行ってみると、一定速度で進行したり、脈動したり、分裂したりと1つの局在パターンだけでも面白い動きをするのですが、さらに複数個が集まったり、環境からの影響も取り入れることで、より多彩な振る舞いを見せます。
 その数理メカニズムを調べるため、力学系理論の観点から解析を行っています。このようなパターンのダイナミクスは、結局のところ方程式の解の時間変化に対応するわけですが、力学系理論では解の時間変化は相空間中の軌道として表現されます。そこで特定の解に注目し、その解がどのパラメータ範囲に存在し、いつ不安定化するか、さらに安定(不安定)多様体によりどの解とつながっているか、などを調べていくことで、関連する解の分岐構造が見えてきます。分岐構造が分かれば、数値計算でみられるダイナミクスを、漸近安定な解への収束、あるいは解から別の解への変遷などとして捉え直すことができ、逆に分岐構造からダイナミクスを予想できるようになります。そのために元の反応拡散方程式から、パルスやスポットの運動を記述する低次元力学系への縮約も組み合わせることで、より効率的な分岐構造の探索や詳細な解析も行っています。
 反応拡散方程式の中にも常微分方程式と結合したもの、拡散が異常拡散や交差拡散であるもの、反応項に非局所項を含むものなど様々なバリエーションがあり、他分野とも関連しながら発展を続けています。その一方で、特に解析面では多くの重要な問題が手つかずの状況です。数値的な手法も活用しながら、その解決に向けて進んでいきたいと考えています。

大学院進学へ向けて

インタビュー風景

ゼミの内容や専門科目を面白いと感じたのであれば、ぜひ大学院への進学を検討してみてください。学部では知識や考え方を身につけることが主な目的でしたが、大学院では学んだ知識を活かし、新たな成果を出すことが目標となります。長い時間をかけて1つの問題に取り組み、計算間違いを探したり、別の方法を模索したり、文献に戻って考え直したりと、試行錯誤しながら進むことになります。なかなか思うように進まないことも多いですが、その分、どんなに小さなものでも、自分だけのオリジナルな結果が出せたときの喜びは何ものにも代えがたいものです。そのような経験ができる点でも、大学院へ進学する価値はあると思います。
 また、研究にスムーズに入っていくためには、学部で基礎的な勉強はある程度済ませておく必要があります。勉強を始めた頃は「こんなこと勉強して何の役に立つの?」と感じることもあるかもしれませんが、他の科目を学んだり、専門性が深まるにつれ、その重要さや関連性が見えてくることも多く、また後々どのようなかたちで自分に関わってくるかも分からないものです。私も初めてプログラミングの授業を受けたときは必要性が分からず苦手意識を持っていたのですが、研究で使うようになってからその重要性や可能性というものを実感するようになりました。学部のうちはあまり好き嫌いせず、様々な科目を学び、視野を広げてもらえたらと思います。

PAGE TOP