Pick up 研究室

数理科学科

「微分方程式と変分法」渡辺 達也 研究室

「なぜこんな形をしているのか」「なぜこのような現象が起こるのか」。世の中のさまざまな現象にまつわる疑問は、実は数学を使って説明することができます。私の研究室では、微分方程式を用いて、身近な現象を数学的に解析していきます。
方程式といえば、一般的に未知の“数”を解として求めるものですが、微分方程式では“関数”を求めます。状態は変化を伴い、関数で表されるので、微分方程式を解くことで、現象が「どのように変化するか」が見えてきます。
例えば、やかんを火にかけるとどのくらいの速さで熱が伝わるかといった熱伝導や、物体が落下するときの空気中の抵抗力、感染者数や実効再生産数からウイルスの広がり方を算出するなど、おそらく皆さんが想像されるよりずっと身近なところで微分方程式を活用できます。
さらに「変分法」を用いて、微分方程式の解の存在や安定性を示す試みにも挑戦していきます。変分法とは、汎関数(関数の関数)を最大・最小化する手法であり、微分方程式を解くために有効なツールの一つです。変分問題に書き換えることで、これまで解けなかった微分方程式の解を導き出すことができ、より複雑な現象を解析することが可能になります。
大学で学ぶ数学は、「限られた時間で正しい答を求める」ことを目的とする高校までの数学とはひと味違う面白さがあります。真剣に取り組めば、数学に関心を寄せるみなさんが、これまで積み上げてきた学びの一つのゴールとなるはずです。方程式を解いた先には何があるのか——。
一緒にその答えを探しましょう。


「不思議だな」と思える人は、数学に向いています。

「結び目理論」数理科学科 山田 修司 研究室

私の専門は「結び目理論」というものです。これは位相幾何学(トポロジー)の一種で、ひもの結び目を数学的に表現し、研究する学問です。現代数学の中では、非常に珍しい「対象が目に見える」ものなので、学生もなじみやすいのではないかと思います。
例えば、この分野のわかりやすいモデルとしてよく挙げられる「ボロミアン環」は3つの輪による結び目です。3つ絡むとしっかりとつながれるのに、1つでも抜けたらほかの2つは離れてしまう。これ以外にも、8の字に結んだり、水引のように結んだり、ひもの結び方はいろいろあります。
結び目理論というのは「この結び目とその結び目は同じものか?」を証明する学問です。ひもを曲げたり動かしたりすると、結び目の形は変わります。しかし、どんなに形が変わっても同じ結び目である、これはほどけないと証明するのは、実は非常に難しいことなのです。なぜなら「できないこと」を証明しなくてはならないからです。
そのため、結び目理論では「これができたとすると矛盾が起きる」ことを証明していきます。結び目の形を数値化したものを不変量といいますが、その不変量をできるだけたくさん用意していくことによって、不可能を証明する。
結び目理論の代表例「ボロミアン環」。3つの輪を組み合わせたもので、イタリア・ボロミアン家の家紋から名が付いた。
「なぜそんなことを研究しているの?」と思われるかもしれません。結び目理論はゲノム解析に用いられるなど実学への応用もできるのですが、研究の動機自体は、シンプルに「面白いから」です。例えばオイラーの多面体定理というものがあります。紙にさいころのような正六面体を描いて、その頂点と辺と面を数えてみてください。正六面体なら頂点が8、辺が12、面が6。これで「点の数−線の数+面の数」を計算すると、必ず「2」になります。 同様に八面体や三角すいでも、この計算に当てはめると解は必ず「2」になります。不思議でしょう? これを実際に手を動かしてやってみて、頭の中に「なぜ?」がたくさん浮かぶ人は、数学に向いています。不思議だと思うから解明しようという気持ちになるのです。そんな人は、私の研究室に来てほしい。もっと数学を楽しめるステージを用意しますから。


ランダムな現象を記述する微分方程式
〜ラフパス解析の視点から〜

「数理ファイナンス」数理科学科 伊藤 悠 研究室

私が研究しているラフパス解析は、滑らかさの度合いの小さな関数に関する微積分学の理論で、確率微分方程式と呼ばれるものにその起源を持ちます。大雑把にいうと、微分方程式とは、未知関数とその導関数および独立変数を含む方程式といえ、確率微分方程式とは、ランダムなゆらぎが加わった微分方程式といえます。自然界の多くの現象には様々な形でランダムなゆらぎが入っています。その典型例はブラウン運動と呼ばれるランダムな粒子の動きに由来するもので、このようなランダム性は、確率論の言語によって定式化され、数学もしくはもっと広く数理科学の研究対象となります。確率微分方程式の理論はランダムな現象を解析するための強力な手法を提供し、統計学、物理学、生物学、工学、経済学などといった諸分野にも応用されていますが、ラフパス解析は従来の確率微分方程式の理論に新たな視点を与え、従来の理論では解析できなかったような対象にまで応用範囲が拡がり更なる発展が期待されています。
PAGE TOP